պարապունք 50

Թեմա` Պարզագույն իռացիոնալ հավասարումների լուժումը:

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Կյանքի շատ իրավիճակներ նկարագրվում են իռացիոնալ հավասարումներով: Ուստի, սովորենք լուծել գոնե պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները:

Դիտարկենք 

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Կյանքի շատ իրավիճակներ նկարագրվում են իռացիոնալ հավասարումներով: Ուստի, սովորենք լուծել գոնե պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները:

Դիտարկենք √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումը:

Ըստ քառակուսի արմատի սահմանման, այն նշանակում է, որ 2x+1=3²: Փաստորեն, քառակուսի բարձրացնելով, տրված իռացիոնալ հավասարումը բերեցինք 2x+1=9 գծային հավասարմանը:

Ուշադրություն

Քառակուսի բարձրացնելը իռացիոնալ հավասարումների լուծման հիմնական եղանակն է:

Դա բնական է, եթե պետք է ազատվել քառակուսի արմատի նշանից:

2x+1=9 հավասարումից ստանում ենք՝ x=4: Սա միաժամանակ  2х+1=9 գծային  և √2x+1=3  իռացիոնալ հավասարումների արմատն է:

Քառակուսի բարձրացնելու եղանակը տեխնիկապես բարդ չէ իրականացնել, սակայն երբեմն այն բերում է անցանկալի իրավիճակների:

Օրինակ

Դիտարկենք √2x−5=√4x−7 իռացիոնալ հավասարումը:

Երկու մասերը բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝ (√2x−5)²=(√4x−7)² 2x−5=4x−7

Լուծելով ստացված 2x−4x=−7+5 հավասարումը, ստանում ենք x=1

Սակայն x=1, որը 2x−5=4x−7 գծային հավասարման արմատն է, չի բավարարում տրված իռացիոնալ հավասարմանը: Ինչո՞ւ: Իռացիոնալ հավասարման մեջ  փոխարեն տեղադրենք 1: Կստանանք՝ √−3=√−3

Հավասարումը բնականաբար չի բավարարվում, քանի որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իմաստ չունե

Ստացել ենք ավելորդ արմատ: Այսպիսի իրավիճակներում ասում ենք, որ x=1 -ը թույլատրելի արժեք չէ, կամ չի պատկանում թույլատրելի արժեքների բազմությանը: Դուրս եկավ, որ այս դեպքում, իռացիոնալ հավասարումը արմատ չունի, մինչդեռ քառակուսի բարձրացնելուց ստացված գծային հավասարումը արմատ ուներ:

Պետք է այսպիսի ավելորդ արմատները ժամանակին հայտնաբերել և չընդգրկել լուծումների մեջ՝ դեն նետել: Դա արվում է ստուգման միջոցով: 

Իռացիոնալ հավասարումների համար, ստուգումը լուծման անհրաժեշտ փուլ է, որը օգնում է հայտնաբերել և դեն նետել ավելորդ արմատնելը: 

Ուշադրություն

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝

1) այն բարձրացնել քառակուսի,

2) լուծել ստացված հավասարումը,

3) կատարել ստուգում՝ դեն նետելով ավելորդ արմատները,

4) գրել վերջնական պատասխանը:

Կիրառելով այս եզրակացությունը, դիտարկենք հետևյալ օրինակը:

Օրինակ

Լուծենք √5x−16=2 հավասարումը:

1) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√5x−16)²=2²

2) Լուծենք ստացված հավասարումը՝

5x−16=4 5x=20 x=4

3) Կատարենք ստուգում: √5x−16=2 հավասարման մեջ տեղադրենք x=4: Ստանում ենք՝ √4=2 ճիշտ հավասարությունը:

4) Պատասխան՝ √5x−16=2 հավասարման լուծումը x=4 -ն է:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞ր հավասարումներն են կոչվում իռացիոնալ։

2․ Ինչպե՞ս են լուծում պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները։

3․ Լուծել հավասարումները։

a)vx..=3

x=3

b)vx=0

x=0

g)x=1

d)2x=1

(√2x)²=1²

2x=1

x=1/2

e)√4x-1=1

(√x-1)²=1²

4x=1+1

4x=2

x=1/2

z)√x+2=1

(√x+2)²=1²

x=1-2

x=-1

e)√3x-8=6

(√3x-8)²=6²

3x=36-8

3x=28

x=28/3=91/3

y)√1+5y=7

√1+5x)²=49

5x=49-9

5x=48

x=8/5=3/5

t)√x-3 -2=0

(√x-3)²=2²

x=4+3

x=7

4․ Լուծել հավասարումները։

a)x=0

b) x=4/3

g)x=13/7

d) x=6

5․ Լուծել հավասարումները․

Պարապունք 45

Թեմա՝ Մոդուլի նշան պարունակող հավասարումների և անհավասարումների լուծումը։

Հիշենք մոդուլի սահմանումը:

x ոչ բացասական թվի բացարձակ արժեք կամ մոդուլ անվանում են հենց x թիվը՝  |x|=x: Բացասական x թվի մոդուլ կոչվում է նրա հակադիր թիվը՝  |x|=−x

Ավելի կարճ գրում են այսպես՝ |x|={x, եթե x≥0 և −x, եթե x<0

Օրինակ՝ |8|=8 |−3|=−(−3)=3 |0|=0

Մոդուլի հատկությունները

1. |a|≥0

2. |ab|=|a|⋅|b|

3. ∣a/b∣=|a|/|b|

4. |a|²=a²

5. |a|=|−a|

Մոդուլ պարունակող պարզագույն հավասարումներ։

Դիտարկենք |x|=A հավասարումը, որտեղ A-ն իրական թիվ է:

Մոդուլի սահմանումից և հատկություններից հետևում է, որ |x|=A հավասարումը՝

1)A<0 դեպքում լուծում չունի,

2)A=0 դեպքում ունի միակ լուծումը՝  x=0,

3)A>0 դեպքում ունի երկու լուծում՝  x=A և x=−A

Գտնենք y -ը, եթե |2y−1|=3

Այս դեպքը բնորոշ է դիտարկված ընդհանուր դեպքին, եթե համարենք, որ x=2y−1, A=3: Հետևաբար, 2y−1=3 կամ 2y−1=−3

Լուծելով այս գծային հավասարումները, ստանում ենք՝ 

2y−1=3 2y=4 y=2  կամ  2y−1=−3 2y=−2 y=−1

Պատասխան՝  y -ը հավասար է −1 -ի և 2 -ի:

Մոդուլ պարունակող անհավասարումներ։

Դիտարկենք |x|<A անհավասարումը, որտեղ A -ն դրական թիվ է:

Մոդուլի սահմանումից, հատկություններից և երկրաչափական մեկնաբանությունից հետևում է, որ |x|<A անհավասարումը համարժեք է −A<x<A կրկնակի անհավասարմանը:

Գիտենք, որ կրկնակի անհավասարումն էլ իր հերթին համարժեք է գծային անհավասարումների համապատասխան համակարգին՝

Այսպիսով, եթե A>0, ապա լուծել |x|<A անհավասարումը նշանակում է լուծել անհավասարումների {x<A և x>−A համակարգը:

Ամբողջ ասվածը ուժի մեջ է նաև ոչ խիստ անհավասարումների համար՝

|x|≤A ոչ խիստ անհավասարումը լուծելու համար պետք է լուծել ոչ խիստ անհավասարումների {x≤A x≥−A համակարգը:

Օրինակ՝ Լուծենք |5−2x|≤3 անհավասարումը:

1) Օգտվելով մոդուլի |a|=|−a| հատկությունից, շրջենք մոդուլատակ արտահայտությունը, փոխելով նշանները: Հետևաբար, պահանջվող անհավասարումը կարելի է արտագրել այսպես՝ |2x−5|≤3

2)|2x−5|≤3 անհավասարումը փոխարինենք անհավասարումների համակարգով՝

{2x−5≤3 և 2x−5≥−3

3) Լուծենք համակարգի անհավասարումները՝  {2x−5≤3 և 2x−5≥−3 {2x≤8 և 2x≥2 {x≤4 և x≥1 {x∈(−∞;4] x∈[1;+∞)

4)Հատենք ստացված բազմությունները՝ (−∞;4]∩[1;+∞)=[1;4]

5) Պատասխան՝ x∈[1;4]

Մոդուլ պարունակող անհավասարումներ

Դիտարկենք |x|>A անհավասարումը, որտեղ A -ն դրական թիվ է:

Մոդուլի սահմանումից և հատկություններից հետևում է, որ |x|>A անհավասարմանը բավարարում են այն և միայն այն x -երը, որոնք բավարարում են x<A կամ  x>−A պայմաններից գոնե մեկին:

Եթե A>0, ապա լուծել |x|>A անհավասարումը նշանակում է լուծել անհավասարումների  [x<A կամ x>−A համախումբը:

Ամբողջ ասվածը ուժի մեջ է նաև ոչ խիստ անհավասարումների համար՝

|x|≥A ոչ խիստ անհավասարումը լուծելու համար պետք է լուծել ոչ խիստ անհավասարումների [x<A կամ x>−A համախումբը:

Օրինակ՝ Լուծենք |4x−6|>2 անհավասարումը:

1)|4x−6|>2 անհավասարումը փոխարինենք անհավասարումների համախմբով՝

[4x−6>2 կամ 4x−6<−2

2) Լուծենք համախմբի անհավասարումները՝  [4x−6>2 կամ 4x−6<−2 [4x>8 կամ 4x<4 [x>2 կամ x<1[x∈(2;+∞) կամ x∈(−∞;1)

3)Միավորենք ստացված բազմությունները՝ (−∞;1)∪(2;+∞)

4) Պատասխան՝ x∈(−∞;1)∪(2;+∞)

Առաջադրանքներ։

1․Լուծել հավասարումները․

2․ Լուծել հավասարումները՝ ա) |x−67.14|=0 բ) ∣5x−21∣=4 գ) ∣3x+21∣=48 դ) ∣7x+2∣=-8

3․ 9.72 թիվը  ․․․․․  |x|≤9.72 անհավասարման լուծում: 

4․ Լուծել հավասարումները․

5․Լուծել  տրված անհավասարումները՝ 

ա) |x|≤30 բ) |x+3|<7 գ) |x−10|<3   դ) |x−5|<13 ե) |x−25|≤6 զ) |x+6|>8
է) |x−10|>2 ը) |x−5|>17

6․Գրել հավասարումների համախումբը, որը համարժեք է հավասարմանը․ա) |x|=5, բ) |x|=24

7․Գրել անհավասարմանը համարժեք անհավասարումների համակարգ․ ա) |x|<5, բ) |x|<8

Պարապուն 38 իրի

Թեմա՝ Միջակայքերի պատկերումը թվային ուղղի վրա:

Հարցեր և առաջադրանքներ:

1․Պատկանու՞մ է արդյոք -1 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):

ա)[-4;0] բ)(-2;4) գ)(-∞;-2] դ)(-3;+∞) ե)N զ)Z է)Q ը)R

2․ Արդյո՞ք ճիշտ է հետևյալ պնդումը՝ −1.67∉(−∞;−5)

ա) ոչ բ) այո

3․ Կոորդինատային առանցքի վրա նշել ա) [2;5] հատվածը բ) (2;5) միջակայքը

4․Պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝

ա) [4;9] բ) (-2;7] գ)[-1;9) դ) (0;8)

5․ Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերել թվային միջակայքերը․

ա) [-2;3] և [0;2] բ) [-4;6] և [-1;5] գ) [-5;2] և [3;5] Նրանք ընդհանուր կետեր ունե՞ն։ Եթե այո, գրառել այդ բազմությունների ընդհանուր մասը (հատումը):

Պարապունք 34

a,b,c իրական թվերի համար տեղի ունեն գումարման և բազմապատկման ընդունված կանոնները՝

a+b=b+a    ab=ba     a+(b+c)=(a+b)+c   a(bc)=(ab)c    (a+b)c=ac+bc:

Տեղի ունեն նաև թվերի նշանների վերաբերյալ հետևյալ կանոնները՝ 

— երկու դրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— երկու բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— դրական և բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) բացասական թիվ է: 

Թվաբանական գործողությունները իրական թվերի հետ ունեն հետևյալ հատկությունները:

1. Ռացիոնալ թվերի հետ ցանկացած թվաբանական գործողության (բացի 0-ի վրա բաժանելուց) արդյունքում ստացվում է ռացիոնալ թիվ:

2. Իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության արդյունքում կարող է ստացվել ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թիվ:

3. Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության (բացի 0-ի վրա բաժանելուց և բազմապատկելուց) արդյունքում ստացվում է իռացիոնալ թիվ:

Բերված կանոններն ու հատկությունները տեսական բնույթ ունեն: Հիշում ենք, որ իրական թվերը անվերջ տասնորդական կոտորակներ են: Այդ պատճառով, գործնականում, հարմար է թվաբանական գործողությունները կատարել մոտավոր հաշված (կլորացրած) կոտորակների հետ:

Երկու իրական թվերի գումարը (տարբերությունը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը կլորացնում են նույն ճշտությամբ, ապա գումարում են (հանում են) ստացված մոտավորությունները: 

Օրինակ

Մոտավոր հաշվենք a=3.889217010203… և b=−1.260076(27)… թվերի գումարը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ: 

1) Կլորացնենք այս թվերը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝

a≈3.89,b≈−1.26:

2) Կատարենք գումարումը՝

a+b≈3.89+(−1.26)==3.89−1.26=2.63:

Երկու իրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը կլորացնում են նույն ճշտությամբ, բազմապատկում են (բաժանում են) ստացված մոտավորությունները, ապա արդյունքը կլորացնում են նույն ճշտությամբ:

Օրինակ

Մոտավոր հաշվենք վերևի c=4.579(128) և 2.1122334455… թվերի  արտադրյալը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ:

1) Կլորացնենք այս թվերը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝

c≈4.58,d≈2.11:

2) Կատարենք բազմապատկումը՝

c⋅d≈4.58⋅2.11=9.6638:

3) Կլորացնենք բազմապատկման արդյունքը նույն ճշտությամբ՝

c⋅d≈9.66:

Այսպիսով, առավել անկանխատեսելի է այն դեպքը, երբ գործողությունները կատարվում են երկու իռացիոնալ թվերի հետ: Այս դեպքում արդյունքը կարող է լինել ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թիվ:

Օրինակ

ա) √3⋅√3=3  իռացիոնալ թվերի արտադրյալը տալիս է ռացիոնալ թիվ:

բ) √3⋅√5=√15  իռացիոնալ թվերի արտադրյալը տալիս է իռացիոնալ թիվ:

Հիշենք, որ ցանկացած իրական թիվ անվերջ տասնորդական կոտորակ է՝

— ռացիոնալ թվերն անվերջ պարբերական կոտորակներ են, իսկ

— իռացիոնալ թվերը՝ անվերջ ոչ պարբերական կոտորակներ:

Ուստի, գործնականում, հարմար է թվաբանական գործողությունները կատարել մոտավոր հաշված (կլորացրած) կոտորակների հետ:

1) Երկու իրական թվերի գումարը (տարբերությունը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը պետք է կլորացնել նույն ճշտությամբ, ապա գումարել (հանել) ստացված արդյունքները:  

2) Երկու իրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը պետք է կլորացնել նույն ճշտությամբ, բազմապատկել (բաժանել) ստացված մոտավորությունները, ապա արդյունքը կլորացնել նույն ճշտությամբ:

Առաջադրանքներ

1․Մինչև 0,1 ճշտությամբ կլ;որացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե

a = 3,3
b = 0,1
3,3 + 0,1 = 3,4
3,3 – 0,1 =3,2
բ) a=-7,17 b= -0,33 
a = -7,2
b = -0,3
-7,2 + -0,3 = -7,5
-7,2- -0,3 = -7,5
գ) a=2,7235 b=-3,42426  
a = 2,7
b = -3,4
2,7 + -3,4 = -0,7
2,7 – -3,4 = 6,1
դ) a=2,7(3) b=3,4(2)
a = 2,7
b = 3,4
2,7 + 3,4 = 6,1
2,3 – 3,4 = -1,1

2․Մինչև 0,01 ճշտությամբ կլորացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե

ա) a=1,4545 b=-1,203     
a = 1,5
b = -1,2
1,5 + – 1,2 = 0,3
1,5 – -1,2 = 2,7
բ) a=2,1264  b=-3,1145 
a = 2,1
b = -3,1
2,1 + 3,1 = 5,2
2,1 – 3,1 = -1
գ) a=-5,777 b= 2,536      
a = -5,8
b = 2,5
-5,8 + 2,5 = -3,3
-5,8 – 2,5 = -8,3
դ) a=0,5642  b=-3,573                 
a = 0,6
b = -3,6
0,6 + -3,6 = -3
0,6 – -3,6 = -4,2

2․Մինչև 0,01 ճշտությամբ կլ;որացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե

ա) a=1,4545 b=-1,203      բ) a=2,1264  b=-3,1145 

գ) a=-5,777 b= 2,536      դ) a=0,5642  b=-3,573 

ա) a=1,4545 b=-1,203     
a = 1,5
b = -1,2
1,5 + – 1,2 = 0,3
1,5 – -1,2 = 2,7
բ) a=2,1264  b=-3,1145 
a = 2,1
b = -3,1
2,1 + 3,1 = 5,2
2,1 – 3,1 = -1
գ) a=-5,777 b= 2,536      
a = -5,8
b = 2,5
-5,8 + 2,5 = -3,3
-5,8 – 2,5 = -8,3
դ) a=0,5642  b=-3,573                 
a = 0,6
b = -3,6
0,6 + -3,6 = -3
0,6 – -3,6 = -4,2                

3․Մինչև 0,1 ճշտությամբ կլ;որացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր արտադրյալն ու քանորդը, եթե

ա) a=-2,435 b=1,923       բ) a=2,14564  b=0,78788 

գ) a=-5,768 b= 2,534      դ) a=0,56  b=0,(3)

ա) a=-2,435 b=1,923      
a = -2,4
b = 1,9
-2,4 * 1,9 = -4,56

բ) a=2,14564  b=0,78788 
a = 2,1
b = 0,8
2,1 * 0,8 = 1,68

գ) a=-5,768 b= 2,534      
a = -5,8
b = 2,5
-5,8 * 2,5 = -14,5

դ) a=0,56  b=0,(3)
a = 0,6
b = 0,3
0,6 * 0,3 = 0,18

4․Մինչև 0,01 ճշտությամբ կլ;որացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե

ա) a=0,253 b=0,75        բ) a=3,5781  b=-0,08788 

գ) a=-0,045 b= -0,593      դ) a=4,(2)  b=1,(3)   ե ) a=0,(2) b=2

ա) a=0,253 b=0,75       
a = 0,25
b = 0,75
0,25 + 0,75 = 1
0,25 – 0,75 = -0,5

բ) a=3,5781  b=-0,08788 
a = 3,58
b = -0,09
3,58 + 0,09 = 3,67
3,58 – 0,09 = 3,49

գ) a=-0,045 b= -0,593 
a = -0,05
b = -0,59
-0,05 + -0,59 = -0,64 
-0,05 – -0,59 = 0,54    

դ) a=4,(2)  b=1,(3)  
a = 4,22
b = 1,33
4,22 + 1,33 = 5,55
4,22 – 1,33 = 2,89

ե ) a=0,(2) b=2
a = 0,22
b=2
0,22 + 2 = 2,22
0,22 – 2 = -1,78 ?!

5.Նշել մի որևէ թիվ, որը գտնվում է տված թվերի միջև

ա) a=2,3 b=2,4     բ) a=3,2 b=3,(2)    գ) a=-3,15 b=-3,14

ա) a=2,3 b=2,4 
c = 2,35

բ) a=3,2 b=3,(2) 
c = 3,21   

գ) a=-3,15 b=-3,14
c = -3,145

6․ Ճի՞շտ է արդյոք անհավասարությունը․

ա)  3,5+2,729<3,6+2,729    բ)  -3,21+0,(4)<-3+0,(4)    գ) -5,6+3,2>-5,1+3,(2)

դ) 3,7⋅0,8< 3,8⋅0,8       ե) -5,1⋅0,(3)< -5⋅0,(3)       զ) -3,(8)⋅0,5>-3,8⋅0,(5)

ա) 3,5+2,729 < 3,6+2,729   
Սխալ է

բ) -3,21+0,(4) < -3+0,(4)    
Ճիշտ է

գ) -5,6+3,2 > -5,1+3,(2)
Սխալ է

դ) 3,7⋅0,8< 3,8⋅0,8 
Ճիշտ է
      
ե) -5,1⋅0,(3)< -5⋅0,(3)  
Ճիշտ է
    
զ) -3,(8)⋅0,5 > -3,8⋅0,(5)
Սխալ է

Պարապունք 33

Թեմա՝ Իրական թվերի համեմատումը և մոտարկումը։

Եթե ունենք երկու իրական թիվ, ապա՝ կամ դրանք իրար հավասար են, կամ էլ՝ մեկը մյուսից մեծ է: Պարզենք, թե գործնականում ինչպե՞ս համեմատել իրական թվերը:

Երկու անվերջ տասնորդական կոտորակներ (այսինքն իրական թվեր) իրար հավասար են, եթե նրանք ունեն նույն նշանը և նրանց մոդուլներն ունեն նույն ամբողջ մասերը և համապատասխան կարգերում նույն թվանշանները:

Զրո թիվը փոքր է ցանկացած դրական թվից և մեծ է ցանկացած բացասական թվից:

Նկարագրենք իրարից տարբեր երկու տասնորդական կոտորակների (այսինքն իրական թվերի) համեմատման քայլերը:

Առաջին քայլ: Եթե երկու դրական տասնորդական կոտորակների ամբողջ մասերը իրարից տարբեր են, ապա մեծ է այն կոտորակը, որի ամբողջ մասն ավելի մեծ է:

Եթե ամբողջ մասերը հավասար են, կատարում ենք երկրորդ քայլը:

Երկրորդ քայլ: Դիտարկում ենք ստորակետից հետո եկող առաջին կարգը: Այն կոտորակն է ավելի մեծ, որի այդ կարգում գրված թվանշանը ավելի մեծ է:

Եթե առաջին կարգում գրված թվանշաններն էլ են իրար հավասար, ապա կատարում ենք հաջորդ քայլը և դիտարկում ենք ստորակետից հետո եկող երկրորդ կարգը և այդպես շարունակ:

Վերջին քայլ: Քանի որ դիտարկում ենք իրարից տարբեր կոտորակներ, ապա հաջորդաբար դիտարկելով կոտորակների կարգերը, կհանդիպենք այնպիսի կարգի, որում գրված թվանշաններն իրար հավասար չեն: Այն կոտորակն է ավելի մեծ, որի այդ կարգում գրված թվանշանը ավելի մեծ է:

Օրինակ

Реклама

Համեմատենք 2.1 և 2.(1) իրական թվերը:

Կոտորակները գրենք անվերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով և կիրառենք համեմատման նկարագրված քայլերը՝ 2.1=2.1000…2.(1)=2.1111…

Առաջին քայլ: Նկատում ենք, որ կոտորակների ամբողջ մասերը հավասար են իրար և հավասար են 2 -ի:

Երկրորդ քայլ: Իրար հավասար են նաև ստորակետից հետո եկող առաջին կարգային թվանշանները: Դրանք հավասար են 1 -ի:

Երրորդ քայլ: Առաջին կոտորակի երկրորդ կարգային թվանշանը 0 -ն է, իսկ երկրորդ կոտորակինը՝ 1 -ը:

Այսպիսով՝ 2.1<2.(1)

Որոշ դեպքերում, մասնավորապես, գրաֆիկական եղանակով հավասարումներ լուծելու համար, մաթեմատիկոսները որոշեցին մտցնել արժեքի մոտավոր հաշվման գաղափարը:

Մոտավոր հաշվարկի համար կա ևս մեկ պատճառ՝ դա իրական թվերն են, այսինքն՝ անվերջ տասնորդական կոտորակները: Չէ՞ որ կատարել հաշվարկներ անվերջ տասնորդական կոտորակների հետ անհարմար է, այդ պատճառով, գործնականում հաշվարկները կատարում են իրական թվերի մոտավոր արժեքների հետ:  

Երկրաչափական շատ բանաձևերում հանդիպում է π իրական թիվը: Դա անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակ է:

Օրինակ

Հաշվենք π=3,141592… թվի մոտավոր արժեքները:

1) Եթե այս անվերջ կոտորակի գրառումն ընդհատենք, ստորակետից հետո պահելով երկու թվանշան, ապա կստանանք՝ π≈3,14:

Սա π թվի մոտարկումն է հարյուրերորդականի ճշտությամբ (մինչև 0,01 ճշտությամբ) պակասորդով (ներքևից):

2) Ստորակետից հետո կարելի է պահել երեք թվանշան: Ստանում ենք՝ π≈3,141:

Սա π թվի մոտարկումն է մինչև 0,01 ճշտությամբ պակասորդով (ներքևից):

3) Եթե պահել երեք թվանշան և երրորդը մեկով ավելացնել՝ π≈3,142, ապա կստանանք π թվի մոտարկումը մինչև 0,01 ճշտությամբ ավելուրդով (վերևից):

Պակասորդով և հավելուրդով մոտարկումները անվանում են թվի կլորացում:

Կլորացման ճշտությունը որոշվում է թվի x ճշգրիտ արժեքի և նրա a մոտավոր արժեքի տարբերության մոդուլով՝ |x−a|

Կլորացման կանոնը:

Եթե առաջին դեն նետվող թիվը 5-ից փոքր է, ապա այն կարելի է ուղղակի անտեսել՝ կատարել մոտարկում պակասորդով, իսկ եթե դեն նետվող թիվը 5-ց մեծ է կամ հավասար, ապա պետք է կլորացնել հավելուրդով:

Ուշադրություն

Պետք է հիշել, որ պակասորդով կլորացնելիս միշտ ստանում ենք ճշգրիտից փոքր թիվ, իսկ հավելուրդով` մեծ:

Վերադարնանք π=3,141592… թվին: Կլորացնելով 0,001 ճշտությամբ ստանում ենք՝ π≈3,142: Այստեղ առաջին դեն նետվող թիվը հավասար է 5 -ի (ստորակերից հետո չորրորդ թիվը), ուստի կլորացրեցինք հավելուրդով: 

Реклама

Օրինակ

Կլորացնելով 0,0001 ճշտությամբ ստանում ենք՝ π≈3,1416: Առաջին դեն նետվող թիվը (հինգերորդը ստորակետից հետո) հավասար է 9 -ի:

Արդեն տեսանք, որ 0,01 ճշտությամբ պետք է կլորացնել պակասորդով՝ π≈3,14:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ինչպե՞ս է կատարվում իրական թվերի համեմատումը։

Եթե ունենք երկու իրական թիվ, ապա՝ կամ դրանք իրար հավասար են, կամ էլ՝ մեկը մյուսից մեծ է: Պարզենք, թե գործնականում ինչպե՞ս համեմատել իրական թվերը:

2․ Ինչպե՞ս են կլորացնում իրական թվերը։

Եթե առաջին դեն նետվող թիվը 5-ից փոքր է, ապա այն կարելի է ուղղակի անտեսել՝ կատարել մոտարկում պակասորդով, իսկ եթե դեն նետվող թիվը 5-ց մեծ է կամ հավասար, ապա պետք է կլորացնել հավելուրդով:

3․ Համեմատել թվերը.

ա) >
բ) >
գ) <
դ) <
ե) =
զ) =

4.Թվերը դասավորել աճման կարգով․

ա) -0,142536, -2,(7), 0,125, 0,1(25)
բ) -2(778), 0,(12), 1,(5)

5․Թվերը դասավորել նվազման կարգով․

6․ Գտե՛ք a թվի մոտարկումը պակասորդով՝ ստորակետից հետո երկրորդ կարգի 1 միավորի ճշգրտությամբ, եթե․

ա) a=0,76543   բ) a=-0,34354

7․ Գտե՛ք a թվի մոտարկումը հավելուրդով՝ ստորկետից հետո երկրորդ կարգի 1 միավոր ճշգրտությամբ, եթե
ա) a=3,56789  բ) a=2,555 ․

8․ a թիվը կլորացրեք 0,001 ճշգրտությամբ, եթե․
ա) a=8,91011…
բ) a=-8,910111…
գ) a=0,2626
դ) a=0,6265

9․ 1995, 1996 թիվը կլորացրեք մինչև նշված ճգրտությամբ․
ա) տասնորդական  բ) մեկ հարյորերորդական   գ) մեկ միավոր դ) մեկ հարյուրյակ

Հանրահաշիվ 27

Թեմա՝ Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների հետ։ Վարժությունների լուծում թեման ամրապնդելու համար։

1․ միանդամն ընտրել այնպես, որ հավասարությունը ճիշտ լինի՝

ա) A=2
բ) A=40
գ) A=-12
դ) A=-75
ե) A=5b
զ) A=36x^2y

2․ Արտահայտությունը գրել կոտորակի տեսքով․

ա) 3a/2
բ) x/1 – x/3 = 2x/3
գ) x/1 – 2x/7 = 5x/7
դ) 2/1 + a/3 = 6+a/3
ե) 1/1 + 1/a = a+1/a
զ) 1/b – a/1 = 1-ab/b

3․Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

ա) 1/a + 1/b = b+a/ab
բ) 2/x – 3/y = 2y-3x/xy
գ) x/a + y/b = xb+ay/ab
դ) 5a/7 – b/x = 5ax-7b/7x
ե) 1/2a – 1/3 = 3-2a/6a
զ) 1/a – 1/bc = bc-a/abc

4․ Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

ա) m/ab + m/ac = am+abm/a^2bc
բ) 2a/mn – 5a/mb = 2ab-5an/mnb
գ) 2a-3b/m + 4a-5b^2/mb = 2ab-8b^2+4a/mb
դ) x-y/xy – x-z/xz = x^2z – 2xyz – x^2y/x^2yz

5․Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

ա)-x/8
բ)7a/24
գ)2m²-6m/6
դ)5a-2/30
ե)11x+9/24
զ)5a-13/30

6. Կատարել գործողությունները․

7․Կատարել գործողությունները․

8․Կատարել գործողությունները․

9․Կատարել գործողությունները․

Պարապունք 22

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակներ

Հանրահաշվական կոտորակ կոչվում է A/B տեսքի արտահայտությունը, որտեղ A-ն որևէ բազմանդամ է, իսկ B-ն՝ ոչ զրոյական բազմանդամ:
Հիշեցում․ Բազմանդամ կոչվում է  միանդամների գումարը։

Բերենք մի քանի հանրահաշվական կոտորակների օրինակներ․
x/4
(a+b)/a
-5/(a+b+c+d) 
(a+b)/(a-b)

Հանրահաշվական կոտորակները օժտված են մի քանի հատկություններով․

Այսինքն.
I հատկություն
հանրահաշվական կոտորակի հայտարարի մեկը կարել է անտեսել։
Տես օրինակը․ (a+b)/1=a+b

II հատկություն․
հանրահաշվական կոտորակը չի փոխվում, երբ համարիչը և հայտարարը բազմապատկում ենք ոչ զրոյական նույն բազմանդամով։
Տես օրինակը․
(a+b)/(a-b)=(a+b)(d+2)/(a-b)(d+2)

III հատկություն․
հանրահաշվական կոտորակի առջևում դրված մինուս նշանը կարելի է տեղաշարժել համարիչ կամ հայտարար։
Տես օրինակը․
-(a+b)/(c+d)=(a+b)/-(c+d)

Հարցեր և առաջադրանքներ

1.Ի՞նչ է բազմանդամը, բերեք օրինակներ։

2.Ի՞նչ է հանրահաշվական կոտորակը, բերեք օրինակներ։

3.Հանրահաշվական կոտորակները ի՞նչ հատկությամբ են օժտված, օրինակներով ցույց տվեք։

4.Կրճատեք կոտորակները․


ա)2/4,1/2

բ)4/8,2/4,1/2

գ)3/14

դ)64/231

5.Օգտագործելով հանրահաշվական կոտորակի հատկությունը, գրեք կոտորակը բազմանդամի տեսքով․

x-1
3x+y
x^2+3^xy-y^2

6.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի․

ա)10/15 12/15
բ)21/25 24/28
գ)72/81 45/81
դ)28/35 15/35
ե)4/6 5/6
զ)91/98 84/98
է)
ը)
թ)

7.Կրճատեք կոտորակները․

ա)2xy/4ax
բ)1
գ)2/5

8.Կրճատեք կոտորակները․

xy
b
8

Պարապունք 22

1.Ի՞նչ է բազմանդամը, բերեք օրինակներ։

2.Ի՞նչ է հանրահաշվական կոտորակը, բերեք օրինակներ։

3.Հանրահաշվական կոտորակները ի՞նչ հատկությամբ են օժտված, օրինակներով ցույց տվեք։

4.Կրճատեք կոտորակները․

4/8 -2/4- 1/2

8/12-4/6-2/4

45/210-3/14

256/924-64/231

5.Օգտագործելով հանրահաշվական կոտորակի հատկությունը, գրեք կոտորակը բազմանդամի տեսքով․

x

6.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի․

a) 2/3=10/15

4/5=12/15

b)

3/4=21/28

2/7=24/28

g) 8/9=72/81

5/8=45?81

d) 4/5=28/35

2/7=15/35

e) 2/3=4/6

5/6=5/6

z)13/14=91/98

7.Կրճատեք կոտորակները․

x+y

8.Կրճատեք կոտորակները․

1. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)2⁷ բ)5⁷ գ)4⁶ դ)7⁸

ե)3¹⁵ զ)6¹³ Է)11⁶ ը)9¹⁵

2. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)a9 բ)a11 գ)a11

դ)a⁸ ե)a² զ)a¹⁰

3. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)2 բ)3 գ)5^8

դ)10^2 ե)5^6 զ)8^2

4. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)a^4 բ)a^-4 գ)a^5

դ)a^8 ե)a^-2 զ)a^19

5. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)(10/12)² բ)(2/5)^

6. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.


ա)a^7 բ)a^5 գ)a^7 դ)a^11

ե)a^24 զ)a^25 Է)(a/b)^7 ը)(a/b)^4


7. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)a^-1 բ)a^1 գ)a^3 դ)1^-10

8. Աստղանիշի փոխարեն գրեք այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը ճիշտ լինի.

ա)3^3 բ)4^3 գ)2^-2 դ)5^3
ե)4^12 զ)2^1×3^2=6^3 է)4^3 ը)3^12
թ)(2×3)^5=6^5

Դաս 20

ես օրինակները


Առաջադրանքներ։
1. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 2³ * 2⁴ = 2⁷

բ) 5 * 5⁶ = 5⁷

գ) 4³ * 4² * 4 = 4⁶

դ) 7² * 7 * 7⁵ = 7⁸

ե) 3⁶ * 3⁷ * 3 * 3 = 3¹⁵

զ) 6⁴ * 6⁴ * 6³ * 6² = 6¹³

է) 11² * 11² * 11² = 11⁶

ը) 9³ * 9⁶ * 9² * 9³ *=9¹⁵

2. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a⁵ * a⁴ = a⁹

բ) a³ * a⁸ = a¹¹

գ) a¹⁰ * a = a¹¹

դ) a * a⁷ = a⁸

ե) a * a = a²

զ) a * a² * a³ * a⁴ = a¹⁰

3. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 3⁴ = 4³

բ) 2⁴ = 4²

գ) 10²⁰ = 20¹⁰

դ) 100²⁰⁰ = 200¹⁰⁰

ե) 1999²⁰⁰⁰ > 1998¹⁹⁹⁹

4. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) (a⁵)² = a³

բ) (a³)⁴ = a^-1

գ) (a⁶)⁷ = a^-1

Դիցուք a-ն և b-ն զրոյից տարբեր ցանկացած իրական թվեր են, իսկ m-ը և n-ը՝ ցանկացած ամբողջ թվեր։ Այդ դեպքում ճիշտ են հետևյալ հավասարությունները՝


Տես օրինակները


Առաջադրանքներ։
1. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)2⁷ բ)5⁷ գ)4⁶ դ)7⁸

ե)3¹⁵ զ)6¹³ Է)11⁶ ը)9¹⁵

2. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)a9 բ)a11 գ)a11

դ)a⁸ ե)a² զ)a¹⁰

3. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)2 բ)3 գ)5^8

դ)10^2 ե)5^6 զ)8^2

4. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)a^4 բ)a^-4 գ)a^5

դ)a^8 ե)a^-2 զ)a^19

5. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)(10/12)² բ)(2/5)^

6. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.


ա)a^7 բ)a^5 գ)a^7 դ)a^11

ե)a^24 զ)a^25 Է)(a/b)^7 ը)(a/b)^4


7. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա)a^-1 բ)a^1 գ)a^3 դ)1^-10

8. Աստղանիշի փոխարեն գրեք այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը ճիշտ լինի.

ա)3^3 բ)4^3 գ)2^-2 դ)5^3
ե)4^12 զ)2^1×3^2=6^3 է)4^3 ը)3^12
թ)(2×3)^5=6^5