Պարապունք 42

1․Գտնել բազմանկյան մակերեսի հատկությունների վերաբերյալ ճիշտ պնդումը:

• Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:
• Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծի քառակուսուն:
• Եթե բազմանկյունները հավասար չեն, ապա հավասար չեն նաև նրանց մակերեսները:

2․Քառակուսու կողմը 8 է: Գտնել նրա մակերեսը:

8²= 64սմ²

3․Քառակուսու մակերեսը 225 է: Գտնել նրա պարագիծը:

15×4=60սմ

4․Քառակուսու մակերեսը 121 է: Գտեք նրա պարագիծը:

11×4=44 սմ

5․ Ուղղանկյան կից կողմերը 14 և 5 են: Գտնել ուղղանկյան մակերեսը:

14×5=70սմ²

6․Ուղղանկյան կողմերից մեկը 12 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 84 սմ²։ Գտնել այդ ուղղանկյան պարագիծը։

84։12=7 սմ

7․Ուղղանկյան կից կողմերը հարաբերում են, ինչպես 4:3, իսկ նրա պարագիծը 28 սմ է։ Գտնել այդ ուղղանկյան մակերեսը։

P = 2a + 2b = 2(a+b) = 28սմ
a = 4x
b = 3x
P = 2*4x + 2*3x = 2(4x+3x) = 14x = 28սմ
x = P/14 = 28սմ/14 = 2սմ
a = 4*2սմ = 8սմ
b = 3*2սմ = 6սմ

8․Հաշվել այն ուղղանկյան մակերեսը, որի երկարությունը 18 սմ է, իսկ լայնությունը 3 անգամ փոքր է երկարությունից:

1․Գտնել բազմանկյան մակերեսի հատկությունների վերաբերյալ ճիշտ պնդումը:

• Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:
• Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծի քառակուսուն:
• Եթե բազմանկյունները հավասար չեն, ապա հավասար չեն նաև նրանց մակերեսները:

2․Քառակուսու կողմը 8 է: Գտնել նրա մակերեսը:

S = 64

3․Քառակուսու մակերեսը 225 է: Գտնել նրա պարագիծը:

S = 225
a = 15
P = 60

4․Քառակուսու մակերեսը 121 է: Գտեք նրա պարագիծը:

P = 4a = 4*11 = 44

5․ Ուղղանկյան կից կողմերը 14 և 5 են: Գտնել ուղղանկյան մակերեսը:

S = 70

6․Ուղղանկյան կողմերից մեկը 12 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 84 սմ²։ Գտնել այդ ուղղանկյան պարագիծը։

38

7․Ուղղանկյան կից կողմերը հարաբերում են, ինչպես 4:3, իսկ նրա պարագիծը 28 սմ է։ Գտնել այդ ուղղանկյան մակերեսը։

48սմ²

8․Հաշվել այն ուղղանկյան մակերեսը, որի երկարությունը 18 սմ է, իսկ լայնությունը 3 անգամ փոքր է երկարությունից:

108սմ^2

9․Ունենք երկու ուղղանկյուններ, որոնց մակերեսները հավասար են: Առաջին ուղղանկայն երկարությունը 14սմ է, իսկ լայնությունը 4 սմ: Մյուս ուղղանկյան լայնությունը 7սմ: Գտնել երկրորդ ուղղանկյան պարագիծը:

10․Որքա՞ն են ուղղանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 42 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 110 սմ²

42:

11*10=110

11․Երկու հողամասերի ցանկապատերի երկարությունները հավասար են: Առաջին հողամասը ուղղանկյունաձև է՝ 200 մ և 50 մ կողմերով, իսկ երկրորդն ունի քառակուսու ձև: Ո՞ր հողամասի մակերեսն է ավելի մեծ և քանի՞ քառակուսի մետրով է մեծ

Պարապունք 40

1․

1․4 սմ և 20 սմ կողմերով ուղղանկյունը պտտվում է մեծ կողմի շուրջ: Որոշել առաջացած գլանի շառավիղը և բարձրությունը:

Շառավիղը ՝ 4սմ
Բարձրությունը ՝ 20 սմ

2․ Քառակուսին պտտվում է իր՝ 3 սմ երկարությամբ կողմի շուրջ: Գտնել առաջացած գլանի շառավիղը, բարձրությունը 

Շառավիղը ՝ 3սմ
Բարձրությունը ՝ 3սմ

3․ Ընտրիր  գլանի վերաբերյալ ճիշտ պնդում(ներ)ը:

• Գլանի ծնորդը հավասար է հիմքի տրամագծին:
• Գլանի հիմքերը հավասար եռանկյուններ են:
• Գլանի ծնորդը հավասար է նրա բարձրությանը:

4․ Գլանի առանցքային հատույթի անկյունագիծը 64 սմ է: Գլանի ծնորդի հետ այն կազմում է 30° անկյուն: Որոշել գլանի հիմքի շառավիղը:

AA₁O₁O ուղղանկյունը պտտվում է OO₁ կողմի շուրջ: Արդյունքում առաջանում է գլան:

Տեղադրիր բաց թողնված բառերը:

ա) OO₁ հատվածը կոչվում է գլանի ․․․․․․․:

բ) AA₁ և BB₁ հատվածները կոչվում են գլանի ․․․․․ :

գ) Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի ․․․․․:

դ) Գլանի առանցքային հատույթը ․․․․․․․․․է:

5․ Նշել կոնի վերաբերյալ ճիշտ պնդում(ներ)ը:

• Կոնի հիմքերը շրջաններ են:
• Կոնի հիմքը էլիպս է:
• Կոնի բացվածքը շրջանային սեկտոր է:

6․ 18 սմ և 24 սմ էջերով և 30 սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյունը պտտվում է իր մեծ էջի շուրջ:

ա) Ի՞նչ պտտման մարմին է առաջանում՝ :

բ) Պտտման մարմնի բարձրությունը՝  ․․․․․ սմ է :

գ) Պտտման մարմնի ծնորդը՝  ․․․․․ սմ է:

դ) Պտտման մարմնի շառավիղը՝  ․․․․․ սմ է:

7․ Կոնի բարձրության երկարությունը 12 սմ է, իսկ ծնորդը հիմքի հարթության հետ կազմում է 30^օ անկյուն։ Գտնել կոնի ծնորդի երկարությունը։

8․ Կոնի ծնորդի երկարությունը 14 սմ է, և հիմքի հարթության հետ կազմում է 30^օ անկյուն։ Գտնել կոնի բարձրությունը։

9․Ընտրել  գնդի և գնդային մակերևույթի վերաբերյալ ճիշտ պնդում(ներ)ը:

• Կիսաշրջանի իր տրամագծի շուրջ պտույտի արդյունքում ստացվում է գունդ:
• Գունդը ստացվում է էլիպսի պտույտի միջոցով՝ իր կիզակետի շուրջ:
• Գնդային մակերևույթի կետերը տրված կետից ունեն տրված հեռավորությունը:
• Ուղղանկյան պտույտի միջոցով՝ իր կողերից որևէ մեկի շուրջ ստացվում է գունդ:

10․ Տրված են 6 սմ և 35 սմ շառավիղներով երկու գնդեր: Հաշվել այդ գնդերի կենտրոնների հեռավորությունը, եթե ա) եթե գնդերը չեն հատվում, բ) գնդերը իրար շոշափում են, գ) գնդերը հատվում են։

պարապունք 38

Թեմա՝ Պատկերացում գլանի մասին։

Ծանոթանանք տարածական այնպիսի մարմինների, որոնց մեջ շրջանագիծը նրա մասն է և ունի կարևոր դեր։ Սահմանում ` Ուղղանկյունը նրա որևէ կողմի շուրջը պտտումից առաջացած տարածական մարմինը կոչվում է գլան։ Գլանը ստանալու համար ուղղանկյունը պտտում ենք մի կողմի շուրջ։

Շրջանների կենտրոններով անցնող ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, շրջանները՝ գլանի հիմքեր, իսկ դրանց շառավիղները՝ գլանի շառավիղներ:Գլանի առանցքն ընդգրկող հարթությունը գլանի հետ ունի ընդհանուր մաս, որը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ:Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է, որի երկու հանդիպակաց կողմերը հիմքի տրամագծեր են: Իսկ մյուս երկու տրամագծեր չհանդիսացող կողմերը կոչվում են ծնորդներ:Գլանի ծնորդները հավասար են:

Գլանի կողմնային մակերևույթի բացվածքը ևս ուղղանկյուն է:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր պատկերն է կոչվում գլան։ GEOGEBRA ծրագրով գծել գլան:

 Սահմանում ` Ուղղանկյունը նրա որևէ կողմի շուրջը պտտումից առաջացած տարածական մարմինը կոչվում է գլան։

2․ Ինչպե՞ս կարելի է ստանալ գլան։

Գլանը ստանալու համար ուղղանկյունը պտտում ենք մի կողմի շուրջ։

3․ Ո՞րն է գլանի առանցքը, հիմքերը, շառավիղը, առանցքային հատույթը և ծնորդը։

Շրջանների կենտրոններով անցնող ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, շրջանները՝ գլանի հիմքեր, իսկ դրանց շառավիղները՝ գլանի շառավիղներ:Գլանի առանցքն ընդգրկող հարթությունը գլանի հետ ունի ընդհանուր մաս, որը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ:Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է, որի երկու հանդիպակաց կողմերը հիմքի տրամագծեր են: Իսկ մյուս երկու տրամագծեր չհանդիսացող կողմերը կոչվում են ծնորդներ:Գլանի ծնորդները հավասար են:

4․ Ի՞նչ պատկեր է գլանի առանցքային հատույթը։

Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է։

5․Գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է: Գտեք գլանի ծնորդի և շառավիղի հարաբերությունը:

Եթե գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է, ապա գնալի ծնորդի և շառավիղի հարաբերությունը հավասար է 2:1:

6․ Գլանի առանցքային հատույթը 40սմ պարագծով մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Գտեք գլանի շառավիղը:

40 :4 = 10սմ (մի կողմ),
10 : 2 = 5սմ (շառավիղ):

7․Գլանի առանցքային հատույթը մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագիծը ծնորդ հանդիսացող կողմի հետ կազմում է 60⁰-ի անկյուն: Գտեք այդ անկյունագիծը, եթե գլանի ծնորդի երկարությունը 6սմ է:

8․ Գլանաձև բաժակը կիսով չափ լցված է թեյով: Գոլորիշիանալուց հետո թեյի հետքը մնացել էր բաժակի պատերին: Երկրաչափական ի՞նչ պատկեր է այդ հետքը:

9․ Գլանաձև ցիստեռնի մի մասը լցված է հեղուկով: Ի՞նչ պատկեր է հեղուկի մակերևույթը: Դիտարկեք ցիստեռնի տեղադրման երկու դեպք՝ ուղղաձիգ և հորիզոնական:

Պարապունք 34

Թեմա՝ Արտագծյալ շրջանագիծ:

Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

Շրջանագծի կենտրոնը հավասարահեռ է բազմանկյան բոլոր գագաթներից, հետևաբար այն գտնվում է բազմանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետում:

Ոչ բոլոր բազմանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ բազմանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի բազմանկյան բոլոր գագաթներով:  

Եթե քառանկյանը կարելի է շրջանագիծ արտագծել, ապա տեղի ունի հետևյալ հատկությունը՝ Ցանկացած ներգծյալ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰ է:

Հետևյալ հատկության միջոցով կարելի է պարզել, թե ո՞ր քառանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ:

Եթե քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180° է, ապա նրան կարելի է արտագծել շրջանագիծ:

Ի տարբերություն քառանկյունների, բոլոր տեսակի եռանկյուններին հնարավոր արտագծել շրջանագիծ:

Քանի որ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի արտագծյալ շրջանագիծ: 

Սուրանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներսում (տես ներքևի նկարը):

Ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներքնաձիգի վրա (տես ներքևի նկարը): 

Բութանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյունից դուրս (տես ներքևի նկարը):

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր  շրջանագիծն  է  կոչվում  բազմանկյանը  արտագծյալ:    

Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

2․Քանի՞  շրջանագիծ  կարելի  է  արտագծել  տրված  եռանկյանը:

1

3․ Հնարավո՞ր  է  արդյոք  ցանկացած  քառանկյան  արտագծել  շրջանագիծ: 

Եթե քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180° է, ապա նրան կարելի է արտագծել շրջանագիծ:

4․ Ի՞նչ  հատկություն  ունի  շրջանագծին  ներգծված  քառանկյունը:

Ցանկացած ներգծյալ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰ է:

5․Սեղանին արտագծված է շրջանագիծ: Հաշվիր սեղանի մյուս անկյունները, եթե անկյուններից մեկը՝ F=10° է:

6․ Գտնել B և D անկյունները։

7․ O կենտրոնով շրջանագծին ներգծված է ZXY եռանկյունն այնպես, որ ZX-ը  տրամագիծ է։ ZY աղեղի աստիճանային չափը հավասար է 104⁰ -ի։ Գտնել ZXY եռանկյան անկյունները։

8․ Օգտվելով գծագրից, գտնել ∠ B-ը։

9․ Գտնել ∠ R-ը և ∠B-ն։

10․ ABC եռանկյանը արտագծված է շրջանագիծ։ Գտնել այդ շրջանագծի շառավիղը, եթե AC=24 սմ, ∠A=60⁰, ∠B=30⁰:

Реклама

11. Արդյոք կարելի՞ է տրված ABCD քառանկյանը արտագծել շրջանագիծ, եթե ա)∠A=64⁰, ∠ B=95⁰, ∠C=106⁰բ) ∠A=72⁰, ∠B=69⁰, ∠D=111⁰ գ) ∠A=90⁰, ∠C=90⁰, ∠D=80⁰:

Պարապունք 33

Թեմա՝ Ներգծյալ շրջանագիծ

Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ներգծված շրջանագծի կենտրոնը պետք է հավասարահեռ լինի բազմանկյան կողմերից, այսինքն լինի կիսորդների հատման կետում:

Եթե քառանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ քառանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ոչ բոլոր քառանկյուններն ունեն ներգծյալ շրջանագիծ, քանի որ՝ չորս անկյունների կիսորդները կարող են նույն կետում չհատվել: 

Եթե քառանկյանը ներգծվել է շրջանագիծ, ապա քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են՝  a+c=b+d:

Քառանկյան յուրաքանչյուր կողմ ներկայացնենք երկու հատվածների գումարի տեսքով՝ AB=AK+KB, BC=BL+LC, CD=CM+MD, և AD=DN+NA: Քանի որ, նույն կետից շրջանագծին տարված շոշափողների հատվածները հավասար են, ապա՝ AB+CD=BC+AD:

Այս հատկությունը կարելի է օգտագործել, որպես հայտանիշ, որի միջոցով կարելի է պարզել, թե ո՞ր քառանկյուններն ունեն ներգծյալ շրջանագիծ:

Փորձենք ուղղանկյանը ներգծել շրջանագիծ։Քանի որ ուղղանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարը հավասար չէ,ապա չենք կարող ներգծել շրջանագիծ։

Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են, ապա այդ քառանկյունն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Քանի որ եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Քանի որ, ցանկացած եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են եռանկյան ներսում, ապա ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնը միշտ գտնվում է եռանկյան ներսում:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1․ Ո՞ր  շրջանագիծն  է  կոչվում  բազմանկյանը  ներգծյալ։

Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

 2․ Քանի՞  շրջանագիծ  կարելի  է  ներգծել  տրված  եռանկյանը:

1

3․GEOGEBRA ծրագրով գծիր եռանկյուն, ներգծիր եռանկյանը շրջանագիծ, նկարը ցույց տուր։

4․Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերը հավասար են 4 սմ և 9 սմ։ Գտնել սեղանի պարագիծը։

P = 26սմ

5․Ներգծյալ շրջանագծի շոշափման կետում հավասարասրուն եռանկյան սրունքը տրոհվում է 3 սմ և 4 սմ երկարությամբ հատվածների՝ հաշված հիմքից: Գտե՛ք այդ եռանկյան պարագիծը:

P = 20սմ կամ P = 22սմ

6․ Գտե՛ք 6 սմ և 8 սմ էջերով և 10սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

r = 2սմ

7․ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 13սմ է, իսկ էջերի գումարը՝ 17սմ: Գտե՛ք եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

r = 2սմ

8․ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 15 սմ է, իսկ պարագիծը՝ 36սմ: Գտե՛ք այդ եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

Պարապունք 32

Թեմա՝ Եռանկյան նշանավոր կետերը

Թեորեմ 1: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է անկյան կողմերից:

Թեորեմ 2 (հակադարձ): Եթե անկյան մեջ ընկած կետը հավասարահեռ է անկյան կողմերից, ապա այն ընկած է անկյան կիսորդի վրա: 

Թեորեմ 3: Հատվածի միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից:

Թեորեմ 4 (հակադարձ): Եթե կետը հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից, ապա այն ընկած է հատվածի միջնուղղահայացի վրա:

Եռանկյան առաջին նշանավոր կետը՝ կիսորդների հատման կետը

Թեորեմ 5: Եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:

AN -ը և BM -ը կիսորդներ են, O -ն նրանց հատման կետն է: Այս կետը եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնն է և միշտ ընկած է եռանկյան մեջ:

Եռանկյան երկրորդ նշանավոր կետը՝ կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը

Թեորեմ 6: Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են միևնույն կետում:

Դիցուք O կետը AB և BC կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետն է: Քանի որ այն հավասարահեռ է A, B և B, C կետերից, ապա, ըստ Թեորեմ 4-ի, այն ընկած է նաև AC կողմի միջնուղղահայացի վրա:

Այս կետը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոննէ: Եթե եռանկյունը սուրանկյուն է, ապա կետը ընկած է եռանկյան մեջ, եթե եռանկյունը բութանկյուն է, ապա այն ընկած է եռանկյունից դուրս և, եթե եռանկյունը ուղղանկյուն է, ապա այն ընկած է ներքնաձիգի վրա:

Եռանկյան երրորդ նշանավոր կետը՝ միջնագծերի հատման կետը

Թեորեմ 7: Եռանկյան միջնագծերը հատվում են միևնույն կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2 : 1 հարաբերությամբ հատվածների՝ հաշված գագաթից:

Միջնակետերի հատման կետն անվանում են եռանկյան ծանրության կենտրոն:

Եռանկյան չորրորդ նշանավոր կետը՝ բարձրությունների հատման կետը

Թեորեմ 8: Եռանկյան բարձրությունները (կամ նրանց շարունակությունները) հատվում են միևնույն կետում:

Բարձրությունների հատման կետն անվանում են եռանկյան օրտոկենտրոն:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1․ Գրել չորս նշանավոր կետերը։

Եռանկյան առաջին նշանավոր կետը՝ կիսորդների հատման կետը

Եռանկյան երկրորդ նշանավոր կետը՝ կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը

Եռանկյան երրորդ նշանավոր կետը՝ միջնագծերի հատման կետը

Եռանկյան չորրորդ նշանավոր կետը՝ բարձրությունների հատման կետը

2․ Լուծել խնդիրը

3․ Լուծել խնդիրը

AO=10 սմ

4․ Լուծել խնդիրը

ա)8,5։2=4,25
AD=4,25 սմ
CD=4,25 սմ

բ)3,2×2=6,4
AD=6,4 սմ
CD=6,4 սմ

Պարապունք 23

Թեմա՝ Շրջանագիծ

Շրջանագիծ 

Թեմա՝ Շրջանագիծ

Շրջանագիծ կոչվում է երկրաչափական այն պատկերը, որը կազմված է հարթության բոլոր այն կետերից, որոնք գտնվում են տրված կետից տրված հեռավորության վրա:   

Այդ կետը կոչվում է շրջանագծի կենտրոն, իսկ տրված հեռավորությունը՝ շրջանագծի շառավիղ:

Շառավիղը հատված է, որը միացնում է շրջանագծի կենտրոնը շրջանագծի ցանկացած կետի հետ: Սահմանումից հետևում է, որ կարելի է տանել անվերջ թվով շառավիղներ, և դրանք բոլորը կունենան միևնույն երկարությունը:

Շրջանագծի երկու կետեր միացնող հատվածը կոչվում է լար:

Եթե լարը անցնում է շրջանագծի կենտրոնով, ապա այն կոչվում է շրջանագծի տրամագիծ:Այն հատվածը, որը միացնում է շրջանագծի երկու կետեր և անցնում է նրա կենտրոնով, անվանում են տրամագիծ։ Շրջանագծի կենտրոնը տրամագիծը բաժանում է երկու շառավղի։

Շրջանագծի ցանկացած երկու կետեր շրջանագիծը տրոհում են երկու մասի, որոնցից յուրաքանչյուրը կոչվում է շրջանագծի աղեղ:

Եթե շրջանագծի վրա նշենք երկու կետ, ապա առաջանում են երկու աղեղներ: Այդ պատճառով աղեղի նշանակման համար օգտագործում են լատիներեն երեք տառ, որոնք կարող են լինել ինչպես մեծատառեր, այնպես էլ՝ փոքրատառեր:  

Վերևի նկարում կարող ենք նշել AMB և ALB   աղեղները:

Ներքևի նկարում գծված են AxB և AyB աղեղները:

Կարելի՞ է արդյոք ստանալ շրջանագիծ, եթե տրված են երկու կետ, որոնցով այն անցնում է: Պարզվում է, որ այո, հնարավոր է: Եթե տրված են՝ A և B կետեր, ապա այդ ծայրակետերով AB հատվածի միջնւղղահայացի վրա վերցված յուրաքանչյուր կետ կարող է դիտվել որպես մի շրջանագծի կենտրոն, որն անցնում է այդ երկու կետերով: Բայց քանի որ հատվածի միջնուղղահայացի վրա գտնվում են անվերջ քանակով կետեր, ուրեմն տրված երկու կետերով անցնող շրջանագծերի քանակը ևս անվերջ են:

Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը

1.Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը ուղղահայաց է այդ լարին։

2․Լարը հատող և նրան ուղղահայաց շառավիղն անցնում է այդ լարի միջնակետով։

Հարցեր և առաջադրանքներ:

1. Ո՞ր պատկերն է կոչվում շրջանագիծ:

կոչվում է երկրաչափական այն պատկերը, որը կազմված է հարթության բոլոր այն կետերից, որոնք գտնվում են տրված կետից տրված հեռավորության վրա:   

2. Ի՞նչ է շրջանագծի շառավիղ, տրամագիծը, լարն ու աղեղը:

Շառավիղը հատված է, որը միացնում է շրջանագծի կենտրոնը շրջանագծի ցանկացած կետի հետ:

Այն հատվածը, որը միացնում է շրջանագծի երկու կետեր և անցնում է նրա կենտրոնով, անվանում են տրամագիծ։ 

Շրջանագծի երկու կետեր միացնող հատվածը կոչվում է լար:

Շրջանագծի ցանկացած երկու կետեր շրջանագիծը տրոհում են երկու մասի, որոնցից յուրաքանչյուրը կոչվում է շրջանագծի աղեղ:

3․ GEOGEBRAծրագրով գծել շրջանագիծ և տանել նրա շառավիղը, տրամագիծը և լարը:

4․Գրել լարի միջնակետով անցնող շառավղի հատկությունները:

1.Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը ուղղահայաց է այդ լարին։

2․Լարը հատող և նրան ուղղահայաց շառավիղն անցնում է այդ լարի միջնակետով։

5․ Թվարկել   շրջանագծի բոլոր  տրամագծերը,   շառավիղները և  լարերը:

Տրամագծեր – CK և BF:
Շառավիղներ – AO, BO, KO, CO, FO:
Լարեր – BL, BF, CK, DF, EL:

6․Թվարկել ստացված աղեղները:

AC1, AC2, AK1, AK2, AP1, AP2, AM1, AM2, KP1, KP2, KC1, KC2, KM1, KM2, PC1, PC2, PM1, PM2, MC1, MC2:

7․ Քանի՞ անգամ է շրջանագծի տրամագիծը մեծ նրա շառավղից։

Երկու անգամ։

8․ Ողիղը հատում է շրջանագիծը A և B կետերում։ Ի՞նչ կետերով պիտի անցնի այդ ուղիղը, որպեսզի AB հատվածն ունենա հնարավոր ամենամեծ երկարությունը։

Շրջանագծի կենտրոնով։

9․ Հաշվիր CA -ն, եթե CD=8 սմ և ∠AOD=120°

4սմ

10․ Տրված է՝ MN=7սմ,  ∠ONM=60°։Գտիր՝ KN-ը։

14

:   

Այդ կետը կոչվում է շրջանագծի կենտրոն, իսկ տրված հեռավորությունը՝ շրջանագծի շառավիղ:

Պարապունք 20

Ուղիղ զուգահեռանիստը, որի հիմքերը  ուղղանկյուններ են, կոչվում է ուղղանկյունանիստ:

Նրա մակերևույթը բաղկացած է 6 ուղղանկյուններից, որոնք կոչվում են ուղղանկյունանիստի նիստեր:
Նիստերի գագաթները կոչվում են ուղղանկյունանիստի գագաթներ, իսկ կողմերը՝ կողեր:
Երկու նիստեր կոչվում են հանդիպակաց, եթե նրանք չունեն ընդհանուր կող:
Յուրաքանչյուր երկու հանդիպակաց նիստեր հավասար են:
Հանդիպակաց նիստերից երկուսը կոչվում են հիմքեր, իսկ մյուս նիստերը՝ կողմնային նիստեր:

Ուղղանկյունանիստն ունի 6 նիստ (երկու հիմք և չորս կողմնային նիստ), 12 կող և 8 գագաթ:
Ընդհանուր գագաթ ունեցող կողերը կոչվում են ուղղանկյունանիստի չափումներ՝ բարձրություն և լայնություն, երկարություն, տես նկարը․

Ուղղանկյունանիստի եթե բոլոր նիստերը իրար հավասար 6 քառակուսիներ են, կոչվում  է խորանարդ։

Հարցեր և առաջադրանքներ

1.Ո՞ր մարմինն է կոչվում ուղղանկյունանիստ։

Ուղիղ զուգահեռանիստը, որի հիմքերը  ուղղանկյուններ են, կոչվում է ուղղանկյունանիստ:

2.GEOGEBRA ծրագրով գծիր ուղղանկյունանիստ։

3.Ի՞նչ երկրաչափական պատկերներից է կազմված ուղղանկյունանիստը։

ուղանկյուն

4.Ո՞ր մարմինն է կոչվում խորանարդ։

Ուղղանկյունանիստի եթե բոլոր նիստերը իրար հավասար 6 քառակուսիներ են, կոչվում  է խորանարդ։

5.GEOGEBRA ծրագրով գծիր խորանարդ։

6.Որո՞նք են ուղղանկյունանիստի չափումները, գծագրով ցույց տուր։

7.Թվարկեք մի քանի առարկա, որոնք ուղղանկյունանիստի ձև ունեն։

հեռախոս , պահարան, սենյակ, համակարգիչ

8.Քանի՞ նիստ ունի ուղղանկյունանիստը, խորանարդը։

Ուղղանկյունանիստն ունի 6 նիստ

9.Քանի՞ կող ունի ուղղանկյունանիստը, խորանարդը։

12 կող

10.Քանի՞ գագաթ ունի ուղղանկյունանիստը, խորանարդը։

8 գագաթ

11.Ուղղանկյունանիստի չափումներն են՝ 5 սմ, 6 սմ, 4 սմ։ Գտե՛ք նրա լրիվ մակերույթի  մակերեսը։ Հուշում․  բոլոր նիստերի մակերեսների գումարը հանդիսանում է ուղղանկյունանիստի  լրիվ մակերույթի  մակերես։

2 · (5 · 6 + 6 · 4 + 5 · 4)
5 · 6 = 30
6 · 4 = 24
5 · 4 = 20
30 + 24 + 20 = 54 + 20 = 74
2 · 74 = 148
148 սմ քառ.

12.Ուղղանկյունանիստի լայնությունը 21 սմ է, երկարությունը՝ 2 սմ-ով ավելի լայնությունից, իսկ բարձրությունը՝ երկարությունից 1 սմ-ով պակաս։ Գտե՛ք ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

2 + 2 = 4
4 – 1 = 3
S = 2 · (2 · 4 + 4 · 3 + 2 · 3)
2 · 4 = 8
4 · 3 = 12
2 · 3 = 6
8 + 12 + 6 = 20 + 6 = 26
2 · 26 = 52

13.Ունենք երկու ուղղանկյունանիստ, որոնցից մեկի չափումներն են՝ 3 սմ, 1 սմ, 6 սմ, մյուսինը՝ 2 սմ, 5 սմ, 4 սմ։ Ո՞ր ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսն է ավելի մեծ։

14.Ունենք 2սմ կող ունեցող մի խորանարդ։ Գտե՛ք նրա լրիվ մակերույթի  մակերեսը։

15.Խորանարդիկի կողի երկարությունը 1 սմ է։ Գտե՛ք նշված մարմնի լրիվ  մակերևույթի մակերեսը։

Պարապմունք 21

Թեմա՝  Պրիզմա (հատվածակողմ)

Պրիզմա կոչվում է այն բազմանիստը, որի երկու նիստերը զուգահեռ հարթություններում ընկած հավասար բազմանկյուններ են, իսկ մնացած նիստերը ուղղանկյուններ են:

Զուգահեռ հարթություններում գտնվող հավասար նիստերը կոչվում են պրիզմայի հիմքեր, իսկ մնացած նիստերը՝ կողմնային նիստեր:Յուրաքանչյուր կողմնային նիստի երկու հանդիպակաց կողերը գտնվում են հիմքերի վրա, իսկ մյուս երկու կողերը միացնում են հիմքերի գագաթները։ Այդ կողերը կոչվում են կողմնային կողեր։

Ըստ հիմքի բազմանկյան ՝ պրիզման կարող է լինել եռանկյուն պրիզմա, քառանկյուն պրիզմա, հնգանկյուն պրիզմա և այլն:

Եթե պրիզմայի կողմնային կողերը ուղղահայաց են հիմքերին, ապա այն կոչվում է ուղիղ պրիզմա: 

 Իսկ երբ կողմնային կողերը ուղղահայաց չեն հիմքերին, պրիզման կոչվում է թեք:

Պրիզման կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են:

Հիմքերի հեռավորությունը կոչվում է պրիզմայի բարձրություն:

Ուղիղ պրիզմայի բարձրությունը համընկնում է նրա կողմնային կողի հետ:

n-անկյուն պրիզման ունի 3n կող, 2n գագաթ, n+2 նիստ, ընդ որում՝ այդ նիստերից երկուսը նրա հիմքերն են, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստեր:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1.Որ մարմինն է կոչվում պրիզմա:

Պրիզմա կոչվում է այն բազմանիստը, որի երկու նիստերը զուգահեռ հարթություններում ընկած հավասար բազմանկյուններ են, իսկ մնացած նիստերը ուղղանկյուններ են:

2.GEOGEBRA ծրագրով գծիր պրիզմա:

3.Որ նիստերն են կոչվում հիմքեր, կողմնային նիստեր:

4.Որ պրիզման է կոչվում ուղիղ պրիզմա։

5.GEOGEBRA ծրագրով գծիր ուղիղ պրիզմա:

6.Որ պրիզման է կոչվում թեք պրիզմա։

 Իսկ երբ կողմնային կողերը ուղղահայաց չեն հիմքերին, պրիզման կոչվում է թեք:

7․GEOGEBRA ծրագրով գծիր թեք պրիզմա:

8․Գտեք վեցանկյան պրիզմայի կողերի, գագaթների, նիստերի քանակը,GEOGEBRA ծրագրով գծեք վեցանկյան պրիզմա:

n-անկյուն պրիզման ունի 3n կող, 2n գագաթ, n+2 նիստ, ընդ որում՝ այդ նիստերից երկուսը նրա հիմքերն են, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստեր:

9․Կարող է պրիզմայի կողերի թիվը լինել՝

ա) 13 բ) 14 գ) 18։ Պատասխանը հիմնավորել։

18 և ավել

10․Կարող է պրիզմայի նիստերի թիվը լինել՝

ա) 13 բ)14 գ) 18։ Պատասխանը հիմնավորել։

18 և ավել

11․ Ինչ բազմանկյուն է պրիզմայի հիմքը, եթե պրիզման ունի ՝

ա) 15 կող բ)11 նիստ գ) 10 գագաթ։

Հնգանիստ

Պարապունք 18

Հարցեր և առաջադրանքներ։
Ո՞ր պատկերն է կոչվում քառակուսի, GEOGEBRA ծրագրով գծեք ABCD քառակուսի։

2.GEOGEBRA ծրագրով գծեք ABCD քառակուսի, նշեք քառակուսու  կողմերը, անկյունագծերը։

3. GEOGEBRA ծրագրով գծեք ABCD քառակուսի, ինչպիսի՞ անկյուն են կազմում քառակուսու  անկյունագծերը։

4. Գտեք քառակուսու բոլոր անկյունների աստիճանային գումարը։ Ո՞ր բանաձևով ես հաշվում։
(4-2)x180=360
(n-2)x180

5. Նշեք քառակուսու մի կողմին առընթեր անկյունների գումարի աստիճանային չափը։
180

6. Նշեք քառակուսուն  բնորոշ որևէ  առանձնահատկություն։
Քառակուսու անկյունագծերը հավասար են, փոխուղղահայաց են, հատման կետով կիսվում են և կիսում են քառակուսու անկյունները:

7. Քառակուսու  մի կողմը հավասար է 21դմ է։ Գտեք քառակուսու պարագիծը։
21×4=84
Պատ․՝84 դմ

8. Քառակուսու պարագիծը 72 սմ է: Գտեք քառակուսու կողմը:
72։4=18
Պատ․՝18սմ

10. Քառակուսու անկյունագծերի հատման կետից մինչև բոլոր կողմերը եղած հեռավորությունների գումարը 20 սմ է: Գտեք քառակուսու պարագիծը:

20:4=5
5×2=10
10×4=40
Պատ․՝40

11․ Քառակուսու պարագիծը 80 սմ է: Որքա՞ն է քառակուսու անկյունագծի միջնակետի հեռավորությունը նրա կողմից։
80:4=20
20:2=10
Պատ․՝10 սմ

12․ Շեղանկյան անկյունագծերից մեկը հավասար է կողմին: Գտեք շեղանկյան անկյունները։
180-60=120
60,120,60,120

13․ Գտեք ABCD շեղանկյան պարագիծը, եթե ∠B = 60 աստիճան է, իսկ AC = 10,5 սմ:
10,5×4=42
Պատ․՝ 42 սմ

14․ ABCD շեղանկյան մեջ ∠B = 120 աստիճան է: Անկյունագծերը հատվում են O կետում: BC կողմը 10 սմ է: Գտեք BD անկյունագիծը:

15.(Դժվար) Ապացուցիր, որ  շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են։